Pirâmides

Componentes : Luizianne, Gabriele Duarte, Wallisson, Rodrigo, Kessia e Naiane 

Primeira Reunião - Grupo Pirâmide

Quando pensamos em pirâmides a primeira coisa que nos vêm à cabeça são as do Egito não é verdade? Pois é, o bacana disso tudo é saber que pirâmides não é uma coisa ultrapassada de séculos atrás, ela mais do que nunca esteve no nosso dia a dia de estudos, não só de história mas também de matemática, isso mesmo de matemática. A geometria espacial estuda figuras geométricas inclusive as pirâmides, e é justamente ela que iremos conhecer agora.

Pirâmides

Pirâmide é um sólido geométrico cuja base é um polígono qualquer e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum.

Em uma pirâmide podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Podemos classificar as pirâmide como reta ou oblíqua:

A pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

Numa pirâmide oblíqua os triângulos das faces laterais não são congruentes, além disto a projeção do vértice sobre a base não coincide com o centro geométrico da face inferior.

                                    

Outro critério que podemos analisar para classificar a pirâmides, são em relação ao seu número de lados da base, como mostra o exemplo abaixo:

É necessário saber o que significa alguns termos para se situar na hora de fazer os cálculos, por isso temos:

R	raio do circulo circunscrito
r	raio do círculo inscrito
l	aresta da base
ap	apótema de uma face lateral
h	altura da pirâmide
al	aresta lateral

Área lateral de uma pirâmide 

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

                A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12

A(lateral) = 4.12 = 48 cm²            

A área total de uma pirâmide
É a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
O volume de uma pirâmide
Pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A(base) h
Seção Transversal de uma pirâmide
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura:

O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.

Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada por:
S_t = S_l + S_B + S_b

Onde
S_t → é a área total
S_l → é a área da superfície lateral
S_B → é a área da base maior
S_b → é a área da base menor

Fórmula de calcular o volume do tronco é dada por:

V = volume

h = altura do tronco da pirâmide

A = área da base de maior superfície

a = área da base de menor superfície

Exemplo

Um tronco da pirâmide possui como bases dois quadrados de lados medindo 16 e 24 centímetros, respectivamente. Sabendo que a altura do tronco é equivalente a 42 cm, determine seu volume.

 

Área quadrado maior: 24 * 24 = 576 cm²

Área quadrado menor: 16 * 16 = 256 cm²

Referência: pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-tronco-piramide.htm

 Roda de conversa

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